张浩
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笔记

量子门

2026-09-27

量子门

三个基本的泡利矩阵

这三个泡利矩阵既是量子门（可以改变量子态），也是可观测量。

（是可观测量有什么用：测量时，就是把量子态投影到可观测量的本征态上。一个矩阵，有本征态（向量），对应也有本征值。类比线代中矩阵的特征向量、特征值。）

共性

对态矢量施加三个泡利门，效果等价于它们绕对应坐标轴旋转 180°。

三个泡利矩阵、Hadamard 门的平方都等于单位阵，它们四个的共轭转置还等于自己；

泡利 X 门：翻转计算基态。0 态变 1 态，1 态变 0 态。作用在叠加态上同时翻转两个计算基态的振幅。

X=(0110),X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},

泡利 Y 门：在 X 门效果基础上，增加了相位因子。

Y=(0−ii0),Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},

泡利 Z 门：不改变测量概率（振幅），只改变相位。对应布洛赫球绕 Z 轴旋转 180 度。

Z=(100−1).Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Hadamard 门

H 门：Hadamard 哈达玛门。单比特量子门。将基态变成均匀叠加态。X 基测量前加这个；

H=12[111−1]H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

酉矩阵列（行）向量模长为 1，so 系数是根号 2 分之 1.

具体例子

以一个实际量子态矢量 看这些泡利门是怎么改变它的。

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩=[αβ]|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}

一个 态矢量有两种写法：横着写，把系数和对应计算基态写出来；竖着写，是向量的形式；向量的元素是各个计算基态对应的概率振幅。

施加某个门，门乘在左边。

X 门反转了计算基态的概率振幅：

X∣ψ⟩=[0110][αβ]=[βα]=β∣0⟩+α∣1⟩X|\psi\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta \\ \alpha \end{bmatrix}=\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle

Y 门 交换概率振幅并且引入了虚数相位 i:

Y∣ψ⟩=[0−ii0][αβ]=[−iβiα]=−iβ∣0⟩+iα∣1⟩Y|\psi\rangle = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i\beta \\ i\alpha \end{bmatrix} = -i\beta|0\rangle + i\alpha|1\rangle

Z 门0⟩的相位不变，翻转∣1⟩ 的相位（符号变负）：

Z∣ψ⟩=[100−1][αβ]=[α−β]=α∣0⟩−β∣1⟩Z|\psi\rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha \\ -\beta \end{bmatrix} = \alpha|0\rangle - \beta|1\rangle

Hadamard 门：

H∣ψ⟩=12[111−1][αβ]=12[α+βα−β]=α+β2∣0⟩+α−β2∣1⟩H|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \alpha + \beta \\ \alpha - \beta \end{bmatrix} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{\alpha - \beta}{\sqrt{2}}|1\rangle

将 alpha 取零，原始态矢量就是纯态∣1⟩ ，施加 Hadamard 之后，变成了负叠加态：∣-⟩

H∣1⟩=12[111−1][01]=12[1−1]=12∣0⟩−12∣1⟩H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle

以上门对应的幺正矩阵都是定值，不含参数。以下旋转门都带可训练参数。

RX、RY、RZ

单比特旋转门。角度连续可调。

泡利矩阵在量子力学极其特殊和优美的地位。前面提到泡利矩阵的平方等于单位阵。这就可以从单比特旋转门的定义推出来他们矩阵形式了。因为泰勒展开之后可以化简。

  • 首先要知道三个旋转门 RX RY RZ 的最初定义：他们是通过矩阵指数 从泡利矩阵生成的：记住原始公式、再利用以前记得泰勒展开式，再知道矩阵指数怎么展开（就是和正常的一样）、再知道展开之后利用泡利矩阵的性质化简、再知道三个基本的泡利矩阵是什么，就能推出三个旋转门的矩阵形式；看着有点多，其实每一个都好记；

  • 旋转门的定义：

    Rx(θ)=e−iθ2X,Ry(θ)=e−iθ2Y,Rz(θ)=e−iθ2ZR_x(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}X}, \quad R_y(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}Y}, \quad R_z(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}Z}

    看到这个公式是否有疑问？为什么自变量是θ，到了右边公式却写成二分之θ？涉及量子力学的基本性质，这里只记：指数除以 2，是为了抵消量子态多出来的‘一圈’。

  • 下面给出 RX 门矩阵的推理过程：

    1 把原指数矩阵泰勒展开：这里令α=θ/2。展开公式是直接把指数部分换元。

    e−iαX=I+(−iαX)+(−iαX)22!+(−iαX)33!+(−iαX)44!+⋯e^{-i\alpha X} = I + (-i\alpha X) + \frac{(-i\alpha X)^2}{2!} + \frac{(-i\alpha X)^3}{3!} + \frac{(-i\alpha X)^4}{4!} + \cdots

    2 利用X^2 = I 化简得到：

    e−iαX=I−iαX−α22!I+iα33!X+α44!I−iα55!X−⋯e^{-i\alpha X} = I - i\alpha X - \frac{\alpha^2}{2!}I + i\frac{\alpha^3}{3!}X + \frac{\alpha^4}{4!}I - i\frac{\alpha^5}{5!}X - \cdots

    3 根据 cosx sinx 泰勒展开式，得到：

    e−iαX=cos⁡(α)I−isin⁡(α)Xe^{-i\alpha X} = \cos(\alpha)I - i\sin(\alpha)X

    其实，是指数上有矩阵时，而矩阵满足 X^2=I ,可以直接用标量的欧拉公式。原欧拉公式后面多了两个矩阵。

    4 代入泡利X 矩阵得到 Rx 的矩阵形式：

    Rx(θ)=[cos⁡(θ2)−isin⁡(θ2)−isin⁡(θ2)cos⁡(θ2)]R_x(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}

    RX 门：改变 0,1 占比，但会给 1 引入-i 的相位；

  • RY 门：参数化 ansatz 必备；最常用。只改变计算基态的概率振幅。

    [cos⁡θ2−sin⁡θ2sin⁡θ2cos⁡θ2]\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\[10pt] \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{bmatrix}

  • RZ 门：只改变相对相位，所以测量概率不会改变；

    Rz(θ)=[e−iθ200eiθ2]R_z(\theta) = \begin{bmatrix} e^{-i\frac{\theta}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\theta}{2}} \end{bmatrix}

T 门

T=(100eiπ/4)T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}

给态 1 加 π/4 的相位，不动态 0；

离散的量子门，不是可调连续量子门；

T 门的意义

Gottesman–Knill 定理：Clifford 电路可被经典计算机高效模拟。我们用的 H，S，CNOT 构成了

Clifford 门集；这个门集只能生成Clifford 群；所以：用这些门组成的量子电路，经典计算机也能模拟，那量子优势就没有了。T 门是非Clifford 门，于是 T 门带来了一个性质：

一个电路里 T 门的数量，决定了“可被经典模拟”有多难——T 门越多，量子优势越强，但也越难实现。

但是，天下没有免费的午餐：在 NISQ （Noisey Intermediate Scale Quantum ）T 门的制作成本非常高！**一个 T 门的物理成本，可能相当于几十甚至上百个 CNOT 门。**所以一个电路有 T 门的话，必须要优化的是 T-count and T-depth.

NISQ 之后，在容错量子时代 FTQC，物理错误率变低，可以跑长电路，这时候 T 门数量和深度决定整个量子算法运行的成本。

通用量子计算

门集能否实现通用量子计算是指：

对于一个任意的酉矩阵，门集里面的门能够通过有限组合，去实现这个酉矩阵。H+T+CNOT 就是通用门集。

通用量子门集的充要条件：能够逼近任意单量子比特酉变换，并且包含一个双量子比特门。

受控门

CNOT 门：对角矩阵，单位门和 X 门组合。

CNOT=[1000010000010010]\text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

CZ 门：不含参数。主流两比特纠缠固定门。